【数的推理】2乗すると？ / 約数の個数

自然数の2乗を探し出す

問題

自然数Ａを168倍すると、別の自然数の2乗となるとき、最小の自然数Ａはいくつか。

１．　１８　　　２．　２６　　　３．　３４　　　４．　４２　　　５．　５０

※答えは画像の下にあります

解答

１６８を素因数分解して、次のように表します。

$$168=2^2\times2\times3\times7$$

「２乗になる」とは、

$$a^2×b^2×c^2=(a+b+c)^2$$

のように掛け算に分解した数すべてが２乗の形になるときです。

したがって、１６８に自然数Ａをかけるのであれば、Ａ＝２×３×７にしてみてください。

$$168×A=2^2×2×3×7×(2×3×7)$$

$$=2^2×2^2×3^2×7^2$$

$$=(2×2×3×7)^2$$

$$=84^2$$

題意を満たすことができました。したがって Ａ＝２×３×７＝４２ が妥当ですので正解は肢４となります。

答え　４

約数の個数

問題

５０４の約数の個数として、正しいのはどれか。

１．　１２個　　　２．　１５個　　　３．　２０個　　　４．　２４個　　　５．　３０個

※答えは画像の下にあります

解答

５０４を素因数分解すると、

$$504=2^3×3^2×7^1$$

となります。したがって、約数の個数は

$$(3+1)×(2+1)×(1+1)=24個$$

となります。よって正解は肢４です。

答え　４

解説

今回は解答が長くならないので２問ほど同時に掲載した。素因数分解などの解説は他のページに掲載している。２つの問題共通するのは、使う武器はすぐにわかる、ということだ。「武器」とは、公式などのことである。しかしこの問題の難しいところは、ここからである。どうやって使うのか？である。２問とも素因数分解を使うのだが、素因数分解をしたあとで何をしたら良いのかわからない。いつものことだが、この手の問題を回答まで導くには、類題を数多くこなすしかない。公務員に必要なのは、そこからの臨機応変であり、冷静に考えることである。パターンを頭に刷り込ませて、数ある解法からすかさず引き出せるようにしておきましょう。