【数的推理】割り算の余りが一致する問題

余り一致問題

問題

５６で割っても４４で割っても余りが１２となる３桁の自然数がある。この自然数を１９で割ったときの余はどれか。

１．　０　　　２．　１　　　３．　２　　　４．　３　　　５．　４

※解答は画像の下にあります

解答

「５６で割っても４４で割っても余りが１２」ということは、余りが一致している問題である。

では、条件を満たす数＝５６と４４の公倍数＋１２ を求めてみる。

素因数分解をし、最小公倍数を求める。赤で囲った部分を掛け算して求める。

４×１４×１１＝６１６

それに、１２を足したものが元の自然数となるので、

６１６×ｎ＋１２

と表すことができる。そうすると、問題文「３桁の自然数」とあり、その条件を満たせるのは

n＝１

しかない。n=2だと、1232＋１２となってしまい3桁ではなくなってしまうからである。

この条件を満たす数＝６１６×１＋１２＝６２８

これを１９で割ると、６２８÷１９＝３３…１となる。したがって、答えは肢２となります。

正解　２

解説

この手の問題には公式が存在する。これはくどく説明する必要がないので、ここで掲載する。

求める数＝割る数の最小公倍数×ｎ(整数)＋余り

今回の問題では、求める数＝56と44の最小公倍数×ｎ＋余り であった。この数は無数に存在する。なので問題文で指定している。ここでは、「3桁の自然数」としていしているので、”２”以上だと4桁以上になってしまうので必然的に”１”となる。これで安心して終わらず、しっかりと共通している余りを足してやる。この問題だと”１２”をこれに足してやると、余りが同じ２つの数字の求めたい数が出る。

では、この公式を自分で作って考えてみたいと思う。この問題ならば、

ある数は、４４・５６で割るには、１２が余分（多い） といえる。ということは、

ある数－１２＝４４・５６の公倍数（割り切れる）　ということとなる。

１２を移行し、４４・５６の最小公倍数の整数倍を出してやると、公式の完成となる。この整数倍は、問題文の条件に合わせていろいろ入れてみて考える必要がある。

この余りが一致したり不足したりする問題は、公務員試験では必須となる。数の性質のクライマックス的な問題となるので、しっかりとマスターしておきたい。この手の問題は、類題をこなしていると秒殺できる問題なので取りこぼしのないように、サービス問題だと思えるくらいになった方がいい。数的の問題では、基本中の基本となる。