【数的推理】お菓子の詰め合わせを作る問題

大中小の箱にお菓子を入れる問題

問題

ある菓子屋で、95個の菓子を作った。これらを使って、3個入り、5個入り、10個入りの菓子の詰め合わせを作ったところ、菓子は余らず、20箱の菓子の詰め合わせができた。5個入りの詰め合わせの箱の数が、3個入りの詰め合わせの箱の数よりも多い時、5個入りの詰め合わせの箱の数はいくつか。

1.　8箱　　2．10箱　　3.　12箱　　4.　14箱　　 ５.  16箱

※答えは画像の下にあります

解答

3個入り、5個入り、10個入りの箱数をそれぞれx、y、z箱とおいて、条件を整理します。

これより、次の２つの式が成り立ちます。

① x＋y＋z=20

② 3x＋5y＋10z=95

①を10倍して、②と引き算をすることによりzを消去します。

①×10－②　⇒　7x＋5y=105

では、ここから解法を2つだします。どちらでも解けるようにしておきたいですね。

その①ーベタな解き方ー

7x＋5y＝105　を次のように変形します。

$$y=\frac{105-7x}{5}$$

$$y=21-\frac{7x}{5}$$

yは整数ですから、当然、右辺も整数になります。そのためには、xが5の倍数である必要があります。ここで、x=5、10・・・と場合分けをしてみます。

しかし、②の場合は、「5個入りの詰め合わせの箱の数(y)が、3個入りの詰め合わせの箱の数(x)よりも多い」に反しますので不適ですね。したがって、①の場合のみが妥当だとわかりますので、y=14(箱)となります。

答え　　４

その②ー選択肢を利用するー

7x+5y=105 を次のように変形します。

$$x=\frac{105-5y}{7}$$

$$x=15-\frac{5y}{7}$$

上の式より、yは7の倍数であることは、わかりますね。yは私たちが求める「5個入りの詰め合わせの箱の数」であり、その候補が選択肢に載っていますが、その中で7の倍数なのが肢4のy=14箱しか存在しません。したがって、肢4が正解とするしかないことがわかります。

解説

実際の公務員試験だと、この問題を読んだだけで「整数解」の問題だと気付けるようにならないと、時間が足りません。それを気付くためには、問題文に条件が必ず書いてあります。今回の問題だと、「5個入りの箱＞3個入りの箱」とあります。方程式などを立てた時に、このような問題は文字の数と式の数が合わずに解けないようになっています。なので、この条件を利用して解く必要が出てきます。