【数的推理】余りも不足も不一致の最小公倍数

余りも不足も合わない割り算

問題

５００以下の自然数のうち、３で割ると１余り、かつ、７で割ると３余る数は何個あるか。

１．　18個　　　２．　20個　　　３．　22個　　４．　24個　　５．　26個

※解答は画像の下にあります

解答

今回も、余りと不足の関係を表にまとめます。

3で割ると１余る数：4，7，１０，１３，１６，１９・・・・今回は、余り・不足ともに一致してない問題です。こういった場合は、とりあえずそれぞれの条件を満たす数を書いて行きます。

7で割ると３余る数：１０，１７，２４，３１・・・・

余り・不足ともに一致しないこいうった問題は、それぞれの条件を満たす一番小さい数を最小公倍数×ｎに加えます。今回の問題では、「１０」です。

条件を満たす数＝２１ｎ＋１０（ｎ＝０以上の整数）

問題文より、５００以下の自然数ですので、２１ｎ＋１０≦５００が成り立ちます。ではみていきます。

２１ｎ＋１０≦５００

２１ｎ≦４９０

$$n≦\frac{490}{21}=23\frac{1}{3}$$

これをわかりやすく、可視化してみようと思う。

上の数直線より、条件を満たすｎは、０～２３までの２４個あります。

答え　４

解説

余り・不足が不一致だと、少し戸惑うかもしれないが、やることは一緒である。ここの問題でのポイントは、ｎが０以上の整数であり、０もあるということである。これを忘れてしまうと、せっかく解答までたどり着いたのに、０を考えてなかった、なんてもったいない話である。

そして、最後の不等式に持って行き答えが分数になったときに、「２３なのか２４なのかどっち？」と悩まないだろうか？こういうときは、すぐに図に描いて可視化する必要がある。そうすることによって、２４はありえないとわかる。注意するところは、上にも書いたが、０もあるということである。