速さを方程式で解く

$$①距離=速さ×時間$$

$$②時間=\frac{距離}{速さ}$$

$$③速さ=\frac{距離}{時間}$$

方程式とは

「方程式で解く」とは、つまり「等式を立てる」ということです。では、「速さの等式」というと次の2つが代表的です。

  1. 距離についての等式を立てる(旅人算で登場)
  2. 時間についての等式を立てる

等式の手順

  1. 等式、★★=△△を立てる
  2. 問題の情報を基に変形する
  3. わからない部分に文字を置く

※「速さ」の方程式は、『時間』もしくは『距離』についての方程式をたてることとなる。


例題(東京消防庁)

A君の家からB地点までは下り坂が、B地点からC君の家までは上り坂が続く道がある。この道を下りは時速60キロで、登りは時速40キロでオートバイで往復したところ、50分かかった。途中、C君の家に5分ほど立ち寄ったが、それ以外は走り続けた。では、A君の家からC君の家の距離はいくらか。

※解答は画像のしたにあります

解答

まず、条件をわかりやすく図を描いてみます。

では条件をみてみると、「往復50分かかる」「5分立ち寄った」とあります。ということは、実際の移動時間が「45分」ということがわかります。

時間に関する等式を立ててみます。

(A→Bの時間)+(B→Cの時間)+(C→Bの時間)+(B→Aの時間)=45分

公式は、時間=距離÷速さです。では、一つ一つ詳しくみてみます。

$$\frac{ABの距離}{下りの速さ}+\frac{BCの距離}{上りの速さ}+\frac{CBの距離}{下りの速さ}+\frac{BAの距離}{上りの速さ}=45$$

この等式を見た時に、わかる部分わからない部分があります。わかる部分は、速さですよね。では、わからない部分をどうするか?そこに文字を置いてみます。

AB間の距離をxkm、BC間の距離をykmと置きます。

$$\frac{x}{60}+\frac{y}{40+\frac{y}{60+\frac{x}{40}=\frac{45}{60}$$

ここで注意なのは、時速で計算しているので、45分を時間に直します

60と40の最小公倍数を両辺にかけて、分数を取ります。

$$4x+6y+4y+6x=45×4$$

$$10(x+y)=180$$

$$x+y=18$$

答え 18km

ちなみにこの問題はA家からC家までの距離を求めているので、xとyの合計値を求めています。そしてこの問題では、x・yそれぞれの距離はわかりません。わかるのは、x+yの値のみとなります。必死にx=?とならないように注意してください。

そして、方程式を立てる順番をよく練習してください。いきなりxとyを置いた式を立てることは、熟練者でないかぎりできません。この程度の問題なら通用するかもしれませんが少しひねった問題になると、通用しませんので、手順をしっかりと踏んで解く癖をつけましょう。