【数的推理】組み和の問題

【数的推理】組み和の問題

テストの点数は?

問題

5科目の試験を受けたところ、成績は良い方から順に、英語・国語・数学・理科・社会であった。また、各教科とも100点満点で、2科目ずつの得点を足したところ、140・144・150・156・158・162・166・170・174・180であった。この時、次のア~オのうちで確実に言えることはいくつあるか。

  • ア  5科目の平均点は80点
  • イ  150点は国語と社会の得点を足したもの
  • ウ  数学の得点は5科目の平均に等しい
  • エ  英語と社会の得点の差は30点
  • オ  国語と理科の得点の差は10点

1.1個      2.2個      3.3個      4.4個      5.5個

※画像の下に解答があります

この問題も、初めて解法を知ったときに感動した問題。いや、私の知識不足と言えばそれまでだが…

解答

STEP1  5科目の合計を求める

英語・国語・数学・理科・社会の点数をそれぞれa,b,c,d,e(a>b>c>d>e)としましょう。そうすると、「2科目ずつの得点を足したところ」とあります。見てみると、これだけの組み合わせができる。

①ab ②ac ③ad ④ae ⑤bc ⑥bd ⑦be ⑧cd ⑨ce ⑩de

10通りである。この10通りが140点~180点にそれぞれ対応します。さて、この組み合わせで出てくるアルファベットですが、それぞれ4回づつ出て来ているのがわかる。では、この①~⑩を全部足してみます。

①+②+・・・+⑩= 4(a+b+c+d+e)と表される。①~⑩の和とは、140点~180点全ての和となる。実際の数字を計算してみると、

140+144+150+・・・+170+174+180=1600(点)となり、4(a+b+c+d+e)=1600、両辺を4で割るとa+b+c+d+e=400…△  となる。

STEP2  a~eそれぞれの値を求める

問題の条件をみてみる。すると、「良い方から順に、英語・国語・数学・理科・社会」とあり、a>b>c>d>eとSTEP1で表した。ということは、英語+国語=180・英語+数学=174・数学+社会=144・理科+社会=140となり、次の不等式が成り立つ。

a+b>a+c>・・・・・・>c+e>d+e  (真ん中の6通りは不明)= ①a+b=180 ②a+c=174 ⑨c+e=144 ⑩d+e=140

ここで△の式に①と⑩を代入すると、180+c+140=400  ∴c=80(点)

となる。この値を②・⑨に代入すると、a=94(点)・e=64(点)となり、さらに①・⑩に代入してb=86(点)・d=76(点)となる。

これで全ての点数が出ました。英語=94点・国語=86点・数学=80点・理科=76点・社会=64点 合計400点・平均80点

これで選択肢ア~オの検討に入る。

  • ア〇
  • イ〇(86+64=150) 
  • ウ〇 
  • エ〇(94-64=30) 
  • オ〇(86-76=10)

答え 5