【公式】等差数列の公式を作ってみる

【公式】等差数列の公式を作ってみる

「等差数列?」と思った人は特に必見です。一からやって行きましょう!数列の問題は、公式を知らないと果てしない計算をしないといけないので、数列の問題では必須です。逆に、公式さえ知っていればできる問題が多いです。

等差数列とは・・・同じ数ずつ加算されていく数列。そして、その加算されていく数を「公差」といいます。

公式① 第n項目(n番目)の数=初項+(n-1)×公差

この公式をそのまま覚えれれば問題ないのだが、公式はそのまま覚えて使えるほど甘くないんです。問題には、「あの公式を使って答えなさい」など書いてないですから(笑)では実際に公式を作ってみよう。

数列、3・8・13・18・23・・・とある。では、6項目は何か?(下の表にはすでに記載されていますが)

上の表を見てもらうと、初項3から毎回5ずつ増えている数列だとわかります。これを公差5という。この公式の初項は3です。そして6項目までに5を5回足しています。言い換えれば、5を5回掛けています。ということは、6項目ならば5回公差を足す(掛ける)、100項目を知りたければ99回足されている(掛けられている)こととなる。これが「(n-1)×公差の部分」である。それに最初の項を足すと求められる。

公式② 初項から第n項目までの和= $$\frac{数列の個数×(初項+末項)}{2}$$

この公式は、超重要です。上の数列を全て足すといくつになるのか?それをこの公式で簡単に出すことができます。数列の個数は6個ですね。

3+8+13+18+23+28=6×(3+28)÷2=93 です。

では、この公式を上の例題を使って作ってみたいと思います。ちょっと飛躍した考え方ですが、私は感動した証明です。全て足し集めた答えをSとします。そして、各数字をこのように表してみます。こう記載しても同じことですよね。

S=3+(3+5)+(3+10)+(28-10)+(28-5)+28 

ではもう一度、違う書き方をしてみます。

S=28+(28-5)+(28-10)+(3+10)+(3+5)+3

こう書いても間違いではないですよね。

ではこの2つの式を足してみます。すると、上の式の+5と下の式の-5が打ち消し合います。同様に+10と-10も。そうすると残るのは・・・

2S=(3+28)+(3+28)+(3+28)+(3+28)+(3+28)+(3+28)

となります。(3+28)が6個ほどできました。なので、まとめてみます。

2S=6×(3+28)

では、左辺が2Sなので、両辺を2で割ってやります。

$$S=\frac{6×(3+28)}{2}$$

どうですか?公式通り、分子が数列の個数×(初項+末項)を分母の2で割った通りになりました。

 

公式③ 1+2+3+4+5+…+(n-1)+n=$$S=\frac{n×(1+n)}{2}$$

1から足し始めてn番目までの数を全て足す数列の公式ですが、これは公式②の応用編でありよく使います。なぜ応用なのかというと、1ずつ増えているので公差1の等差数列だからです。

$$\frac{数列の個数×(初項+末項)}{2}$$

この公式から分母は2、そして数列の個数はn個、初項は1で末項はnであるから

$$S=\frac{n×(1+n)}{2}$$

となります。